Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{2}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.65 - λ & 0.35 + 0 \\ 0.45 + 0 & 0.55 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

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Passaggio 4.3.1

Somma $0.35$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.65 - λ & 0.35 \\ 0.45 + 0 & 0.55 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $0.45$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.65 - λ & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

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Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (0.65 - λ) (0.55 - λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Espandi $(0.65 - λ) (0.55 - λ)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0.65 (0.55 - λ) - λ (0.55 - λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0.65 \cdot 0.55 + 0.65 (- λ) - λ (0.55 - λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Passaggio 5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0.65 \cdot 0.55 + 0.65 (- λ) - λ \cdot 0.55 - λ (- λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.2.1.1

Moltiplica $0.65$ per $0.55$ .

$p (λ) = 0.3575 + 0.65 (- λ) - λ \cdot 0.55 - λ (- λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Passaggio 5.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0.65$ .

$p (λ) = 0.3575 - 0.65 λ - λ \cdot 0.55 - λ (- λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Passaggio 5.2.1.2.1.3

Moltiplica $0.55$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0.3575 - 0.65 λ - 0.55 λ - λ (- λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Passaggio 5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0.3575 - 0.65 λ - 0.55 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.45 \cdot 0.35$

Passaggio 5.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 0.3575 - 0.65 λ - 0.55 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Passaggio 5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 0.3575 - 0.65 λ - 0.55 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.45 \cdot 0.35$

Passaggio 5.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0.3575 - 0.65 λ - 0.55 λ + 1 λ^{2} - 0.45 \cdot 0.35$

Passaggio 5.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 0.3575 - 0.65 λ - 0.55 λ + λ^{2} - 0.45 \cdot 0.35$

Passaggio 5.2.1.2.2

Sottrai $0.55 λ$ da $- 0.65 λ$ .

$p (λ) = 0.3575 - 1.2 λ + λ^{2} - 0.45 \cdot 0.35$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 0.45$ per $0.35$ .

$p (λ) = 0.3575 - 1.2 λ + λ^{2} - 0.1575$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $0.1575$ da $0.3575$ .

$p (λ) = - 1.2 λ + λ^{2} + 0.2$

Passaggio 5.2.3

Riordina $- 1.2 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 1.2 λ + 0.2$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{2} - 1.2 λ + 0.2 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

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Passaggio 7.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 1.2$ e $c = 0.2$ nella formula quadratica e risolvi per $λ$ .

$\frac{1.2 \pm \sqrt{{(- 1.2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 0.2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1.1

Eleva $- 1.2$ alla potenza di $2$ .

$λ = \frac{1.2 \pm \sqrt{1.44 - 4 \cdot 1 \cdot 0.2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 0.2$ .

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Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$λ = \frac{1.2 \pm \sqrt{1.44 - 4 \cdot 0.2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $0.2$ .

$λ = \frac{1.2 \pm \sqrt{1.44 - 0.8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.3

Sottrai $0.8$ da $1.44$ .

$λ = \frac{1.2 \pm \sqrt{0.64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.4

Riscrivi $0.64$ come ${0.8}^{2}$ .

$λ = \frac{1.2 \pm \sqrt{{0.8}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$λ = \frac{1.2 \pm 0.8}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$λ = \frac{1.2 \pm 0.8}{2}$

Passaggio 7.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = 1, 0.2$